菲爾茲獎的中國時刻，和中國數學的世界坐標

當地時間7月23日上午，費城國際數學家大會開幕式上，王虹、鄧煜、Jacob Tsimerman和John Pardon獲得2026年菲爾茲獎。

四個名字中，有兩個來自中國。王虹和鄧煜都曾就讀于北京大學數學科學學院，隨后赴美國完成博士訓練，并在國際數學界成長為各自領域的重要學者。當他們同時站上領獎臺，中國數學迎來了一個此前從未有過的時刻。

菲爾茲獎每四年頒發一次，授予獲獎當年未滿40歲的數學家。它常被稱為“數學界的諾貝爾獎”，卻不只總結已經完成的成就，也包含對未來的判斷：哪些問題值得整個數學界繼續追問，哪些方法正在改變研究的方向，哪些年輕數學家可能重新劃定這門學科的邊界。

一根線能占據多大空間

1917年，日本數學家掛谷宗一提出了一個看起來像智力游戲的問題：一根沒有粗細的針，要在平面上完成一次180度轉向，至少需要多大的空間？

直覺上，針越長，轉動時掃過的面積越大。但數學家很快發現，只要不斷平移和改變方向，針可以在任意小的面積中完成轉向。此后，問題逐漸從“怎樣讓一根針轉身”，轉變為一個更抽象的猜想：一個集合如果包含所有方向的單位線段，它在空間中究竟能有多小？

這里的“小”，已經不能簡單用面積或體積衡量。一些特殊集合的面積可以為零，卻依然復雜到無法壓縮成一條線。數學家因此引入“維數”，判斷一個集合在多大程度上占據了周圍空間。掛谷猜想認為，在三維空間里，一個包含所有方向單位線段的集合，無論體積多么微小，都應當具有完整的三維性質。

這個問題難了數學家半個多世紀。困難來自線段之間極其復雜的重疊：朝向不同的細管可以擠在一起，也會隨著觀察尺度的變化呈現完全不同的結構。數學家既要計算這些細管占據了多少空間，也要理解它們為什么聚集、在哪里開始分散。

掛谷猜想并非孤立的幾何謎題。它與傅里葉分析中的限制猜想、波如何傳播、偏微分方程的解怎樣集中等一系列問題相連。對它的每一次推進，往往都會帶動調和分析和幾何測度論中的一整組研究。

王虹進入的，正是這樣一個已經積累了數十年方法，也積累了數十年障礙的領域。

她與美國數學家Joshua Zahl合作，先從一類結構相對特殊的“黏性掛谷集”入手。所謂“黏性”，可以粗略理解為不同尺度上的細管不會毫無規律地散開，它們在放大或縮小時仍保持某種聚集關系。2022年，兩人解決了這一關鍵情況。三年后，他們發表一篇127頁的論文，將這些方法推進到一般情形，完成三維掛谷猜想的證明。

這項證明的重要之處，不只在于解決一個老問題。王虹和Zahl需要同時處理多個尺度：從遠處看，一束細管可能聚集成一個整體；把局部不斷放大，內部又會出現新的方向和重疊關系。他們把空間逐層拆解，在不同尺度上估計細管并集的體積，再將局部信息重新組合起來。一個看似連續而混亂的幾何對象，由此轉化為可以逐層控制的結構。

這種研究方式也呈現了當代數學向前推進的一條典型路徑。重大突破很少來自一條突然出現的公式。研究者往往要先辨認出舊工具失效的具體位置，再重新劃分問題、發明新的尺度和分類方式。王虹與Zahl的工作吸收了調和分析、組合幾何和幾何測度論的長期成果，也改變了這些工具彼此配合的方式。

回頭看王虹的成長經歷，她并不符合公眾熟悉的“競賽天才”模板。

1991年，王虹出生于廣西桂林平樂縣。她沒有國際數學奧林匹克競賽經歷，也未進入國內數學競賽國家集訓隊。2007年，16歲的王虹通過普通高考進入北京大學，最初就讀于地球與空間科學學院，一年后轉入數學科學學院。

本科畢業后，她赴法國深造，隨后進入麻省理工學院，師從調和分析數學家Larry Guth。2019年獲得博士學位后，她先后在普林斯頓高等研究院、加州大學洛杉磯分校和紐約大學柯朗數學科學研究所工作，后來受聘于法國高等科學研究所。

這段履歷常被概括為一個從廣西縣城走向世界數學前沿的故事。更值得注意的是，她真正進入研究前沿的過程發生在一套跨國學術網絡中：北京大學提供基礎訓練，法國和美國的研究機構讓她接觸到調和分析最核心的問題，導師、合作者和同行共同構成了成果生長的環境。

一個頂尖數學家的出現，證明了人才的可能性。一個數學中心的形成，則意味著重要問題能夠在這里提出，年輕人可以在這里找到導師和同行，長期而高風險的研究也能獲得足夠的時間。

從粒子碰撞到流體世界

鄧煜面對的則是另一個尺度問題：無數微小粒子的運動，為什么最終會形成我們看得見的氣體和流體？

一杯水放在桌面上，看起來平靜而連續。但在微觀世界里，組成它的粒子始終高速運動，不斷碰撞、分離，再次相遇。每個粒子的運動都可以用牛頓力學描述；到了宏觀層面，人們卻使用歐拉方程、納維—斯托克斯方程等工具，描述水流、氣體和熱量的變化。

兩套理論都經受過長期檢驗。真正困難的問題是：能否從前者嚴格推出后者？

1900年，德國數學家希爾伯特在巴黎提出23個著名問題，第六問題要求為物理學建立嚴格的數學基礎。其中一條核心路徑，正是從微觀粒子的牛頓運動出發，經過描述大量粒子統計行為的玻爾茲曼方程，最終推導出宏觀流體方程。

物理學家長期相信這條道路成立，數學家卻始終無法完整走通。微觀系統包含數量驚人的粒子，只要時間稍長，碰撞關系就會迅速變得復雜。一個粒子可能與另一個粒子碰撞后繞行一周，再次撞上此前遇到的粒子。這種“回碰”會破壞人們對隨機碰撞的近似，也使計算中出現難以控制的關聯。

過去一百多年里，數學家只能在粒子密度極低、時間很短或其他附加條件下證明其中一部分。微觀、介觀和宏觀三種尺度之間，始終存在一道沒有完全接通的數學縫隙。

鄧煜與數學家Zaher Hani、馬驍合作，研究一種理想化的硬球粒子系統：每個粒子像微小球體一樣在空間中自由運動，碰撞時遵守確定的力學規律。

粒子數量增加后，可能出現的碰撞歷史呈爆炸式增長。數學家必須同時追蹤哪些粒子發生過碰撞、碰撞以何種順序發生，以及這些歷史會怎樣影響后續運動。

團隊設計了一種“切割算法”，將龐大而混亂的碰撞圖拆分成可以處理的基本單元。他們識別相對正常的碰撞鏈，同時控制包含復雜回碰的異常部分，把原本無法直接估計的高維積分轉化為一系列基本算子的組合。

2025年，他們發表了一篇論文，證明硬球粒子系統在足夠長的時間尺度上可以嚴格導出玻爾茲曼方程，并進一步從玻爾茲曼方程推出歐拉方程和納維—斯托克斯—傅里葉方程。這項工作第一次在長時間尺度上嚴格說明，大量硬球的確定性運動怎樣形成統計規律，并進一步表現為宏觀流體運動。

它的意義也超出了流體方程本身。

牛頓力學在微觀層面具有時間對稱性。把一個粒子的運動錄像倒放，它在數學上仍可能成立。宏觀世界卻表現出明確的時間方向：熱量從高溫處流向低溫處，氣體擴散后不會自行聚攏，打翻的水也不會重新回到杯中。

從可逆的微觀運動中，為什么會出現不可逆的宏觀世界，是統計物理最深的問題之一。鄧煜等人的工作沒有窮盡“時間之箭”的全部含義，卻用嚴格數學說明，宏觀規律如何從大量微觀粒子的復雜運動中形成。

與王虹相比，鄧煜更接近公眾熟悉的“競賽天才”路徑。

他1989年出生于深圳，從中學階段進入數學競賽體系。2006年，17歲的鄧煜代表中國參加國際數學奧林匹克競賽，獲得金牌，隨后保送北京大學數學系。2007年入學時，他與王虹同屆。

2009年，鄧煜轉學至麻省理工學院。2010年，他成為普特南數學競賽最高獎得主之一。此后，他進入普林斯頓大學攻讀博士，師從研究調和分析和色散方程的Alexandru Ionescu，2015年獲得博士學位，后來在南加州大學、芝加哥大學任教。

競賽經歷讓鄧煜很早顯露出解決高難度問題的能力。但真正的研究與競賽不同。競賽題通常已有答案，也意味著存在一條可以在限定時間內走通的道路。希爾伯特第六問題沒有這樣的保證。研究者可能投入多年，仍無法確認障礙來自技巧不足，還是原有路線本身不可行。

鄧煜曾談到，這項工作中的許多想法，正是從一次次失敗的嘗試中逐漸生長出來。速度和技巧可以幫助一個人走到已知邊界，原創研究則要求他在沒有標準答案的地方，重新判斷什么值得計算、哪些失敗需要保留，以及怎樣為龐雜問題發明新的結構。

王虹和鄧煜曾在北京大學短暫同窗，一個沒有數學競賽履歷，一個是國際奧賽金牌得主。十多年后，他們分別從幾何空間和數學物理出發，抵達世界數學的前沿。兩人的并置說明，中國的人才培養已經能夠提供不止一條通向頂尖研究的入口。

他們的共同經歷也十分清晰：本科階段之后，兩人都進入美國最核心的數學訓練體系，在頂尖導師和研究共同體中完成博士教育，并在海外大學建立主要學術生涯。

因此，他們的成就不能簡單歸屬于某一個國家或一套教育制度。北京大學提供了起點，國際數學共同體完成了后續訓練、合作與檢驗。中國數學已經能夠將最優秀的學生送到世界前沿；更長遠的問題，是能否讓他們在本土同樣接觸最重要的問題、找到最強的合作者，并承擔十年未必有結果的研究。

在數學邊界上工作的人

與王虹、鄧煜相比，Jacob Tsimerman和John Pardon的成果更難用一個日常問題解釋。但兩人的工作同樣指向本屆菲爾茲獎的一條清晰線索：當代數學的重要突破，常常發生在不同分支的交界處。

Tsimerman研究的是數論和算術幾何中的安德烈—奧爾特猜想。這個猜想試圖描述一種被稱為“特殊點”的對象，如何分布在高度復雜的幾何空間中。它與朗蘭茲綱領相連，也牽涉代數幾何、數論和模型論等多個領域。此前的許多進展依賴廣義黎曼猜想等尚未解決的前提，因此始終不能算作完整證明。

Tsimerman與Jonathan Pila等數學家最終給出了不依賴未決猜想的證明。他們沒有只沿傳統數論工具推進，而是引入模型論中的方法，用邏輯學語言控制幾何空間中特殊點的數量，再與算術幾何中的結果連接起來。2021年，團隊完成安德烈—奧爾特猜想的無條件證明。

Tsimerman的人生經歷同樣跨越多個國家。他出生于俄羅斯喀山，幼年隨家人遷往以色列，后來定居加拿大。少年時期，他連續兩年代表加拿大參加國際數學奧林匹克競賽，第二次獲得滿分。此后，他在多倫多大學完成本科，在普林斯頓大學師從Peter Sarnak攻讀博士，又回到多倫多大學任教。

如果Tsimerman的特點是把遠隔的數學語言連接起來，那么Pardon更像一位不斷為不同領域制造新工具的人。

Pardon早年便以解決難題聞名。本科最后一年，他獨立解決紐結畸變問題，論文發表于《數學年刊》。博士畢業后不久，他在27歲時成為普林斯頓大學正教授。

他的研究橫跨拓撲學、辛幾何和代數幾何。研究生階段，他解決三維情形下的Hilbert—Smith猜想。此后，他又進入曲線計數問題，發展新的橫截性工具，證明一大類卡拉比—丘三維簇上的MNOP猜想。

Pardon的貢獻往往不止完成某一道證明，也會重新搭建證明所需要的技術框架，讓過去依賴直覺或局部技巧的理論獲得統一處理。

從Tsimerman到Pardon，四位獲獎者的研究方向幾乎覆蓋當代純數學中最活躍的若干領域：調和分析、幾何測度論、偏微分方程、數學物理、數論、算術幾何、拓撲與辛幾何。四項成果之間沒有一個簡單的共同主題，卻共享一種研究取向：跨越尺度，借用鄰近領域的語言，為舊問題重新建立結構。

這也解釋了菲爾茲獎為什么很難被理解為一份單純的“難題排行榜”。評委會關注的不只是一個猜想是否獲得證明，還要判斷某項工作是否改變了一個領域的工具、視野和未來方向。

王虹將組合幾何、調和分析和幾何測度論連接起來；鄧煜貫通粒子力學、動理學和流體方程；Tsimerman把模型論引入算術幾何；Pardon則為拓撲和幾何中的多個計數理論建立新的基礎。

四個人共同標記的，是一幅邊界不斷松動的數學地圖。今天的前沿越來越少由學科名稱劃定，更多由問題本身決定。誰能找到一種新的語言，穿過原有分支之間的壁壘，誰就可能把數學帶向下一個區域。

圍繞他們形成的共識也已經說明，當代數學正在獎勵怎樣的工作：它看重的不只是解決一道難題，也看重重新連接知識的能力。

對中國數學而言，王虹和鄧煜的出現同樣不只意味著獎牌的可能。它更像一個坐標：頂尖人才已經抵達世界前沿，下一步要回答的，是最重要的問題、最有創造力的合作和最長期的研究，能否也在中國本土持續發生。

彩蛋

Pardon在普林斯頓系統學習過中文，最初選擇這門語言，是因為中文書寫在他看來足夠困難。他后來還參加過“漢語橋”世界大學生中文比賽。

如加州理工學院數學系教授倪憶此前曾撰文指出，這份四人獲獎名單里，王虹、鄧煜以中文為母語，Pardon也曾長期學習并熟練使用中文，本屆四位菲爾茲獎得主中，有三人能講漢語。