【解題研究】新定義“單弧三角形”——2026年北京中考數(shù)學(xué)第28題

【解題研究】新定義“單弧三角形”——2026年北京中考數(shù)學(xué)第28題

三角形的概念在小學(xué)已經(jīng)接觸過，在初中階段開始系統(tǒng)學(xué)習(xí)三角形相關(guān)的基礎(chǔ)知識，例如邊、角、中線、角平分線、高等，并對三角形進(jìn)行兩種分類；而在九年級學(xué)習(xí)扇形的時候，老師會告訴學(xué)生，其實(shí)扇形也可以近似看作一個三角形，只不過它有一條邊是弧，兩邊是圓的半徑。在這個基礎(chǔ)上，若一個三角形有一條邊是弧，另兩邊不是半徑，便是本題中的單弧三角形的雛形了，當(dāng)然，這樣的三角形研究起來需要綜合的概念更多，所以需要對其進(jìn)行一些必要的限制。

對稱的概念同樣也是自小學(xué)接觸，初中階段我們學(xué)習(xí)了軸對稱、中心對稱，習(xí)慣上我們把它們作為特殊的全等，但這種習(xí)慣并非對稱的全部含義，并非只有幾何圖形才存在對稱，當(dāng)我們在學(xué)習(xí)畫二次函數(shù)圖象時，表格也呈現(xiàn)出一種數(shù)學(xué)上的對稱，當(dāng)我們用坐標(biāo)定義這些數(shù)對時，直觀上也是一種軸對稱，教學(xué)中，不宜限制學(xué)生的思維，讓學(xué)生認(rèn)為對稱只能來自于幾何圖形。

題目

對于不共線的三點(diǎn)A，B，C，連接AB，AC，并作劣弧BC，使得弧BC所在圓的圓心在過點(diǎn)A且與BC平行的直線上，稱由AC，AB和弧BC組成的的圖形為單弧三角形，記作△A-弧BC，其中弧BC所在圓的圓心稱為△A-弧BC的弧心。

(1)如圖1，點(diǎn)A(-2,-1)，B(-3,1)，C(1,1).直接寫出△A-弧BC的弧心的坐標(biāo)及弧BC的長；

(2)如圖2，點(diǎn)D(-2√3,2)，E(2,0).

當(dāng)△D-弧EF的弧心為O時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)已知點(diǎn)M(1,0).對于平面內(nèi)的點(diǎn)N，存在點(diǎn)P，Q滿足△P-弧MN和△Q-弧MN的弧心

均為O，△PMN和△QMN都不是鈍角三角形，且PQ=1，記N的橫坐標(biāo)為t，直接寫出t的取值范圍.

解析：

01

(1)對單弧三角形的解讀中，最關(guān)鍵的是理解“弧BC所在圓的圓心在過點(diǎn)A且與BC平行的直線上”，如下圖：

從這段描述中可以解讀的信息是，直線OA平行于弦BC，點(diǎn)O在弦BC的垂直平分線上；

根據(jù)這個解讀來看第1小題，就十分簡單了，如下圖：

作線段BC的垂直平分線，再過點(diǎn)A作BC的平行線，兩線相交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求弧心，坐標(biāo)為(-1.-1)，此時弧BC的長為√2π；

02

(2)連接OD，過點(diǎn)E作OD的平行線，再過點(diǎn)O作OD的垂線，以這條垂線為對稱軸，作點(diǎn)E關(guān)于它的對稱點(diǎn)F，如下圖：

過點(diǎn)D作DA⊥x軸，根據(jù)D坐標(biāo)，可得∠AOD=30°，于是∠OEF=30°，∠OFE=30°，∠FOD=30°，所以可以求出∠AOF=60°，再過點(diǎn)F作FB⊥x軸，在Rt△BOF中，求得OB=1，BF=√3，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1,√3)；

03

(3)第一步，點(diǎn)N在哪兒？

根據(jù)單弧三角形的理解，先有弧MN，再有點(diǎn)P和點(diǎn)Q，且弧MN的圓心是點(diǎn)O，可知M，N在以O(shè)為圓心，半徑為1的圓上，這是問題的第一步；

第二步，P和Q在哪兒？

再來理解存在性，我們知道點(diǎn)P和點(diǎn)Q均在同一條直線上，這條直線平行于線段MN，再加上PQ=1，所以我們可以理解成PQ是一條線段的兩個端點(diǎn)，這條線段在平行于MN的直線上移動；

最后來解釋“都不是鈍角三角形”，請注意這個“都”字，這也是本題的難點(diǎn)。由于PQ∥MN，所以P，Q，M，N恰好可以圍成一個梯形，特殊情況下，梯形也可能是平行四邊形或矩形，如下圖：

通過作草圖可以發(fā)現(xiàn)，△PMN和△QMN的類別并非一致，即有可能其中一個是鈍角三角形，另一個是銳角三角形，所以，究竟有沒有合適的位置，讓這兩個三角形都屬同一類三角形呢？

當(dāng)△PMN是銳角三角形時，△QMN也是，由前面三幅圖可知，P，Q必須在點(diǎn)O兩側(cè)，而為了保持性質(zhì)的一致性，我們想到的就是軸對稱，即點(diǎn)O為線段PQ中點(diǎn)，這樣無論△PMN是什么形狀，△QMN都與它相同；

可能會有學(xué)生不理解，一定要對稱嗎？不對稱行不行？我們用上圖一、三來理解，當(dāng)△PMN和△QMN中有一個是銳角三角形時，另一個是鈍角三角形，那這種情況不符合題目要求“都不是鈍角三角形”，所以這個“都”字要求這兩個三角形同類，而為了同類，對稱是最佳選擇。

至此，我們解決了問題的第二步，PQ是以O(shè)為圓心，0.5為半徑的圓上的直徑，且這條直徑與MN平行；

第三步，MN有多長？

現(xiàn)在對于四邊形PQMN，它是一個等腰梯形，顯然當(dāng)PQ>MN時，△PMN和△QMN始終是鈍角三角形，所以PQ≤MN，即MN≥1，這是問題的第三步；取臨界點(diǎn)，當(dāng)MN=1時，則△OMN為等邊三角形，此時點(diǎn)N坐標(biāo)易求，為(1/2,√3/2)，即t≤1/2；

第四步，PQ和MN距離多遠(yuǎn)？

僅僅只是靠MN的長度是無法確定△PMN和△QMN形狀的，我們作圖時可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條線段距離比較近的時候，也有可能都是鈍角三角形；由于第三步中我們限制了MN≥1，且在第二步中也知道了點(diǎn)O是PQ中點(diǎn)，于是∠PMN和∠PNM均為銳角，唯有∠MPN不確定，如下圖：

我們發(fā)現(xiàn)，MN與PQ間的距離有可能影響到∠MPN的大小，那究竟如何影響呢？這就需要再引入一個新的圓，以MN為直徑的圓，如下圖：

當(dāng)點(diǎn)P在圓K內(nèi)時，∠MPN為鈍角，當(dāng)點(diǎn)P在圓K上時，∠MPN為直角，當(dāng)點(diǎn)P在圓K外時，∠MPN為銳角；我們尋找其中的臨界點(diǎn)，當(dāng)∠MPN=90°時，看此時點(diǎn)N的橫坐標(biāo)如何求，如下圖：

連接OK，ON，PK，過點(diǎn)N作NA⊥x軸于點(diǎn)A，先觀察兩個直角三角形，Rt△POK和Rt△OKM，不妨設(shè)圓K半徑為k，則由勾股定理可得PK2=OP2+OK2，OM2=OK2+KM2，所以

PK2-OP2=OM2-KM2，得

而△OMK∽△NMA，得OM:NM=MK:MA，可求出MA=5/4，于是OA=1/4，即點(diǎn)N橫坐標(biāo)為-1/4，綜上所述，-1/4≤t≤1/2.

解題思考

很多學(xué)生會有疑問，在探索∠MPN大小的時候，為什么以MN為直徑的圓K能幫助判斷角的大?。课覀兓仡櫨拍昙墧?shù)學(xué)上冊的一道教材習(xí)題，如下圖：

還記得這道題目嗎？當(dāng)初是不是只用到了直徑所對的圓周角是直角？沒有進(jìn)一步思考？下面我們來挖掘一下它：

對于圓O而言，AB是它的一條直徑，點(diǎn)C在圓上，點(diǎn)D在圓內(nèi)，點(diǎn)E在圓外，顯然∠ACB=90°，而由三角形外角可知∠ADB>∠ACB，∠AEB<∠ACB，結(jié)合C，D，E三個點(diǎn)的位置，可知當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)，圓上，圓外時，它與線段AB分別構(gòu)成鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形；

證明這個結(jié)論是很簡單的事情，但想到用它來判斷三角形的形狀，卻并不容易，這并不是說要將它歸納為某某解題模型，沒有必要專門還弄個二級結(jié)論，只是這些推理方法，學(xué)生需要在合適的時候想到。

在合適的時候想到合適的方法，這就是核心素養(yǎng)，大道至簡。

本題中只討論了點(diǎn)N在一、二象限的情況，那么在第三、四象限呢？我們知道圓是對稱圖形，在一、二象限存在，同樣在三、四象限也存在，只需要將上述過程以x軸為對稱軸轉(zhuǎn)換即可。

解析中的四步也不是死規(guī)定，順序可以調(diào)整，根據(jù)學(xué)生第一時間想到的方向，解決相應(yīng)的步驟。