87年的數學猜想被AI輕松推翻，意味著什么

? 文 觀察者網心智觀察所

雅可比猜想于1939年由數學家Ott-Heinrich Keller提出，曾被視為代數幾何領域里最重要的未解謎題之一。87年來，世界頂尖數學家不斷試圖證明這個猜想，卻始終無法突破。如今，Claude Fable 找出了一種簡單的三維多項式映射，輕輕松松給出了驚人的答案：近一個世紀以來被人們力圖證明的雅可比猜想，居然是錯的。

一條改變數學史的簡短宣告

2026年7月20日，兼任Anthropic研究員的哈佛大學數學家Levent Alp?ge在社交媒體上發布了一條簡短消息，開門見山地宣布雅可比猜想是錯的，隨即感謝了他那位“在世界杯決賽期間還在干活的好朋友”：Claude Fable。

正文底下附上了一串誰都能驗證的簡單多項式：雅可比猜想的反例。

一個提出于1939年,寫進21世紀數學問題清單，困住幾代數學家的猜想，被一條短短數行字的社媒動態隨手推翻。消息飛速傳播，眾人紛紛核對。AI竟能將突破性的數學成果以一種如此隨意的形式呈現出來，引起不小的轟動。倫敦瑪麗女王大學的數學家Abhishek Saha表示，迄今為止，這大概是AI參與度最高的一個數學猜想，“此事非同小可，過去一年來，AI的進步的確驚人。

一個80年的數學迷思

我們先從一個直觀問題開始。不斷拉伸、扭曲一張橡皮膜，但要求任何一個極小區域都不能被壓扁（也即降維）。數學家會問：如果每一個局部區域都的維度沒有破損，那么整張橡皮膜上是否一定不會發生這種折疊：即兩個位置被揉成同一點的情況？

這正是雅可比猜想試圖回答的問題。

考慮一個多項式映射：

F: ?? → ??

什么是多項式映射？簡單來說，就是把一個n維空間中的點，通過幾個多項式公式，搬運到同一個空間的另一組坐標上。二維空間和三維空間的映射分別是F(x,y)=(f(x,y),g(x,y))F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))。可將映射F視為一種變形操作，可以壓縮，可以拉伸，可以扭曲，可以平移。

雅可比行列式是雅可比矩陣的行列式，雅可比矩陣的元素是映射的偏導：

雅可比行列式可以理解為一個微小空間經過映射后的體積變化率。當雅可比行列式等于-2時，意味著這個微小空間的體積被放大了兩倍，同時發生方向翻轉。而當雅可比行列式不為0時，根據反函數定理，這個映射在局部一定存在逆變換，它不會把一個立體空間壓縮成低維平面。

但問題在于：局部可逆，是否意味著整體可逆？

雅可比猜想認為，如果一個多項式映射的雅可比行列式在整個空間中恒等于某個非零常數，那么這個映射一定存在一個多項式逆映射。換句話說，只要橡皮膜的每一個微小區域都沒有被壓扁（降維），并且每一點的局部體積縮放率完全一致，那么整體上就不應該發生折疊，不應該出現橡皮膜上的兩個不同位置被揉到同一個點的情況。

這是一個典型的“從局部推向全局”的數學難題。自1939年提出以來，雅可比猜想困擾數學界近87年，成為現代代數幾何中最著名的問題之一。

世界杯決賽夜的反例：AI如何顛覆87年的信念

2026年7月19日，恰逢世界杯決賽夜，Alp?ge與好友Akhil Mathew討論雅可比猜想。Mathew提出了一個關鍵問題：能否找到雅可比猜想的反例？Alp?ge將這個任務交給了AI模型。

在世界杯決賽的喧囂聲中，AI模型繼續干活。它沒有順著人類的思路去證明猜想，而是直接在三維空間中甩出了一個簡單的反例。

這個三維多項式映射是：

F: ?3 → ?3

P = (1+xy)3z + y2(1+xy)(4+3xy)

Q = y + 3x(1+xy)2z + 3xy2(4+3xy)

R = 2x ? 3x2y ? x3z

這個映射具有兩個令人震驚的性質。

第一，它滿足雅可比猜想的要求。計算得到其雅可比行列式恒等于 ?2。也就是說，無論 x、y、z 取什么值，都不會出現局部被降維的情況。按照雅可比猜想，F的逆函數應該存在。

第二，它卻不是一一對應。AI找出了三個完全不同的點：

A = (0, 0, ?1/4)

B = (1, ?3/2, 13/2)

C = (?1, 3/2, 13/2)

它們都被F映射到了同一個點：(?1/4, 0, 0)。

三個完全不同的位置被映射到了同一個地方，這就意味著F沒有逆函數：因為，假如 F的逆函數存在，那么 F(A)的逆函數必須同時等于 A、B、C，顯然不可能。

這個反例精簡且優雅到了令人發指的地步。任何一個學過微積分的學生都可以自行求偏導驗證。大受震撼的教授和學生們爭相求證，發現結果完全正確。

倫敦瑪麗女王大學的Abhishek Saha指出：“有些問題很難解決，可一旦有了解決方案，驗證起來相當容易。這個反例就是這樣。我不知道他是怎么做到的，給AI的提示到底是什么，因為窮舉一切是行不通的。”

雅可比猜想與張益唐

雅可比猜想之所以重要，是因為這個猜想連接了多個數學領域：代數幾何、交換代數、奇點理論、微分拓撲。美國數學家史蒂夫·斯梅爾（Steve Smale）曾將雅可比猜想列入21世紀數學的18個重要問題之一。

大量研究顯示，在很多特殊情況下，只要滿足雅可比條件，映射確實可逆。數學家們不斷發現：低維情況成立，特殊類型成立，某些高階情況成立，這些結果也就強化了人的直覺：雅可比猜想應該是真的，只是證明太難。與此同時，人的直覺傾向于認為局部維度不損失，且每一處縮放率完全一致，則整體上不會發生折疊。于是大家都沿著證明的道路繼續往下走。

雅可比猜想與數學家張益唐之間還有一段特殊的陳年舊事。80年代，年輕的張益唐在美國普渡大學攻讀博士，研究方向正是雅可比猜想。他的博士論文《The Jacobian Conjecture and the Degree of Field Extension》試圖從一個夫案件角度切入雅可比猜想，然而，他的證明依賴了其導師莫宗堅此前發表的一個引理，而這個引理隨后遭到證偽，證明鏈條無法成立。這場挫折大大影響了他的學術道路，導致他博士畢業后拿不到導師推薦信，無法在學術界立足。

87年來為何無人發現？

那么，一個問題自然就出現了：這個反例這么簡單，多項式的次數如此之低，系數也小，87年里，難道沒人做過一次小范圍的窮舉搜索嗎？沒人知道轉一個彎嗎？

答案或許在于數學研究的思維慣性。數學家習慣了證明，而不是尋找反例。而AI沒有這種慣性，它可以在人類難以搜索的巨大空間中探索，挖掘人類思維盲區中的可能性。

如果確認，又意味著什么？

如果這個反例通過數學界的嚴格驗證，其影響將是巨大的。

第一，它說明雅可比猜想不是難證，而是錯了。87年的研究方向需要重新整理。

第二，數學中“局部控制整體”的思想將受到沖擊。過去很多數學家相信：只要每一點附近沒有問題，整體結構就不會出問題。這個反例說明：高維空間之中可能隱藏著更加復雜的折疊機制。

第三，AI進入數學研究的新階段。過去人們討論的是AI能不能證明定理？但這個事件提出另一種可能：AI可以幫人類發現人類提出的問題本身是否正確。

不過，這并不意味著雅可比猜想的所有版本都會宣告死亡。這個反例是在三維空間中證偽了猜想，但二維版本在理論上仍可能為真。也有學者提醒，找到反例不等于建立全新數學分支，后者仍然需要人類的創造力。

AI會成為數學家的實驗機器嗎？

數學證明仍然需要嚴格邏輯。一個AI找到候選反例之后，人類數學家必須驗證公式、檢查計算、建立嚴格證明、判斷其理論意義，并不等于被AI代替。

但AI改變了一件事：過去，數學家的搜索空間是有限的，現在AI可以探索數百萬乃至數十億種結構。這就類似于物理學中的實驗。伽利略之前，人類只能依靠直覺猜測。實驗出現后，自然規律開始接受檢驗。未來，AI可能成為數學家的實驗設備。它不會替代數學家提出深刻問題，但可以告訴人類：這個方向走了將近一個世紀，其實是誤入歧途。

屬于AI的數學大航海時代已經來臨

從歐幾里得幾何到非歐幾何，從經典物理到量子力學，科學史上每一次重大轉折，都始于某種“理所當然”被擊碎的時刻。

87年來，數學家們沿著一條看似筆直的道路前行：提出猜想、尋找證明、建立理論。所有人都相信雅可比猜想是真的，畢竟它太直觀了。但Claude Fable 在世界杯決賽夜給出的回答逆轉了人的認知。這個反例的震撼之處不在于它有多復雜，而恰恰在于：87年來，沒有任何一個人類數學家想到要去這個簡單反例的角落里瞅一眼。

這就是AI帶來的轉變。過去的數學研究如同在一片已知的海域中航行。數學家憑借直覺、經驗和深厚的學養，選擇最有希望的方向進行探索。這種模式締造了無數輝煌，但也縱容了人類思維的慣性,我們總是傾向于證明那些“應該是對的”東西，而不是質疑那些“顯然成立”的前提。

AI沒有這種慣性。它不崇拜猜想，不畏懼權威，不被顯而易見所影響。AI愿意駛向任何一片未知的海域，哪怕那里看來空無一物。

在未來，數學家與AI的關系，也許會成為探險家與羅盤的關系，人類負責提出深刻的問題，指引前行的方向；而AI負責探索那些人類直覺無法觸及的隱秘角落，然后告訴人類：你走的是死胡同，你以為并不存在的東西其實就在那里。

這是雅可比猜想的故事，更是未來數學的預言。屬于AI的數學大航海時代已然來臨。

參考文獻

https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566

來源|心智觀察所

禁止轉載