量子世界，也能用經(jīng)典物理來(lái)描述？

當(dāng)一個(gè)球被拋向空中時(shí)，根據(jù)經(jīng)典物理學(xué)方程，我們可以準(zhǔn)確得知，這個(gè)球在下落時(shí)會(huì)沿著什么路徑運(yùn)動(dòng)，以及它會(huì)在何時(shí)、何處落地。但如果同一個(gè)球被壓縮到原子大小，甚至更小，它的行為就會(huì)超出經(jīng)典物理學(xué)所能預(yù)測(cè)的范圍。

至少，到目前為止，我們一直是這樣認(rèn)為的。

如今，一項(xiàng)新發(fā)表于《英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)刊》的研究表明，日常經(jīng)典物理學(xué)中的某些數(shù)學(xué)思想，也可以用來(lái)描述量子尺度、亞原子尺度上那些常常顯得奇異而反直覺(jué)的行為。在這項(xiàng)新的研究中，一個(gè)研究團(tuán)隊(duì)證明了，量子物體的運(yùn)動(dòng)可以通過(guò)應(yīng)用經(jīng)典物理學(xué)中被稱(chēng)為“最小作用量”的概念來(lái)計(jì)算。

從最小作用量到雙縫實(shí)驗(yàn)

最開(kāi)始，研究人員想要通過(guò)開(kāi)發(fā)模型，來(lái)描述機(jī)器人控制、飛行器控制、神經(jīng)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)等問(wèn)題中的復(fù)雜行為。為了預(yù)測(cè)這類(lèi)系統(tǒng)的行為，工程師常常會(huì)借助哈密頓-雅可比方程。這是經(jīng)典力學(xué)中的重要表述之一，也與著名的牛頓運(yùn)動(dòng)定律密切相關(guān)。

哈密頓-雅可比方程本質(zhì)上把物體的運(yùn)動(dòng)表示為：物體會(huì)沿著一條使“作用量”達(dá)到最小的路徑前沿。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：一個(gè)球從A點(diǎn)被拋向B點(diǎn)。從理論上說(shuō)，這個(gè)球可以在兩點(diǎn)之間走出無(wú)數(shù)條曲折路徑。但這個(gè)方程表明，球?qū)嶋H經(jīng)過(guò)的路徑，是那條滿(mǎn)足最小作用量條件的路徑。

在這里，作用量可以理解為把物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中每一刻的“動(dòng)能與勢(shì)能之差”不斷累加起來(lái)，最后得到的總量。因此，球從A點(diǎn)到B點(diǎn)理論上可以有很多可能路徑，但真正走的那條路徑，是那條讓“動(dòng)能與勢(shì)能之差在整個(gè)過(guò)程中總體達(dá)到最小”的路徑。

研究人員將哈密頓-雅可比方程以及最小作用量原理應(yīng)用于一系列帶有約束條件的經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題。就在這一過(guò)程中，他們意識(shí)到，只要進(jìn)行一些數(shù)學(xué)擴(kuò)展，這個(gè)方程也可以用來(lái)求解量子力學(xué)中一個(gè)著名的問(wèn)題：雙縫實(shí)驗(yàn)。

雙縫實(shí)驗(yàn)展示了量子尺度上出現(xiàn)的一種奇異的、非經(jīng)典的行為。這個(gè)實(shí)驗(yàn)的設(shè)置是：在一塊金屬擋板上開(kāi)出兩條狹縫。當(dāng)單個(gè)光子射向這塊擋板時(shí)，如果按照經(jīng)典物理學(xué)的預(yù)測(cè)，光子應(yīng)當(dāng)沿著一條路徑，直接穿過(guò)其中某一條狹縫，并在擋板另一側(cè)形成一個(gè)光點(diǎn)。

然而，實(shí)際情況卻是不是光點(diǎn)，而是明暗相間的條紋。這種幾乎“扭曲現(xiàn)實(shí)”的圖樣，來(lái)自一種量子力學(xué)現(xiàn)象——一個(gè)光子可以同時(shí)走過(guò)不止一條路徑。在雙縫實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)單個(gè)光子射向擋板時(shí)，它可以同時(shí)穿過(guò)兩條狹縫，并沿著兩條路徑傳播；這兩條路徑最終會(huì)相互干涉。最終形成的條紋圖樣意味著，光子的這兩條相互干涉的路徑必然具有波的特征。因此，這個(gè)實(shí)驗(yàn)證明，量子粒子也可以以一種看似不可思議的方式表現(xiàn)得像波一樣。

自量子力學(xué)誕生以來(lái)，物理學(xué)家一直試圖用日常經(jīng)典物理學(xué)中的工具來(lái)解釋雙縫實(shí)驗(yàn)。但他們此前只能近似得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

即便是著名物理學(xué)家費(fèi)曼（Richard Feynman）也認(rèn)為這項(xiàng)任務(wù)無(wú)法完成。他認(rèn)為，要解釋這一現(xiàn)象，就必須把光子理論上可能走過(guò)的所有路徑都納入考慮，包括無(wú)數(shù)條曲折路徑。這樣的處理需要計(jì)算無(wú)限多條可能的曲折路徑，而這些路徑都與經(jīng)典物理學(xué)中人們預(yù)期的平滑路徑相矛盾。

研究人員意識(shí)到，正是最后這一點(diǎn)可以被調(diào)整。經(jīng)典物理學(xué)假設(shè)，一個(gè)物體從A點(diǎn)到B點(diǎn)只能走一條路徑；而量子力學(xué)則允許一個(gè)物體同時(shí)走多條路徑、同時(shí)處于多種狀態(tài)之中。這種基本量子性質(zhì)被稱(chēng)為“疊加”。

于是，他們提出，也許可以讓經(jīng)典物理在數(shù)學(xué)上接受“多路徑”的概念。這樣一來(lái)，描述量子現(xiàn)象時(shí)就不必計(jì)算無(wú)限多條可能路徑，而只需要計(jì)算少數(shù)幾條滿(mǎn)足最小作用量條件的經(jīng)典路徑，就能重現(xiàn)量子力學(xué)的結(jié)果。

帶著這個(gè)想法，他們重新審視了哈密頓-雅可比方程，試圖弄清如何調(diào)整其中的最小作用量原理，使其能夠預(yù)測(cè)雙縫實(shí)驗(yàn)和其他量子現(xiàn)象。

用“密度”重寫(xiě)量子路徑

在這項(xiàng)新研究中，研究團(tuán)隊(duì)加入了經(jīng)典物理學(xué)中的另一個(gè)要素——密度。從本質(zhì)上說(shuō)，它表示某一條路徑被采用的概率。

研究人員解釋說(shuō)：“我們是從流體動(dòng)力學(xué)的角度來(lái)理解密度的。以雙縫實(shí)驗(yàn)為例，想象你用一根水管朝墻噴水：大部分水會(huì)打到中心位置，但也會(huì)有一些水滴飛向兩側(cè)。中心位置的水流密度較高，就意味著沿著那條路徑找到水滴的概率更高。這里會(huì)形成一個(gè)分布，而這個(gè)分布是可以計(jì)算的?！?/p>

研究人員對(duì)哈密頓-雅可比方程進(jìn)行了調(diào)整，將密度項(xiàng)和多條最小作用量路徑納入其中，并把它應(yīng)用到雙縫實(shí)驗(yàn)。他們發(fā)現(xiàn)，在這種表述下，他們只需考慮分別穿過(guò)兩條狹縫的兩條經(jīng)典路徑，而不需要像費(fèi)曼的方法那樣處理無(wú)限多條曲折路徑。

最終，他們通過(guò)計(jì)算經(jīng)典密度和作用量，得到了一個(gè)波函數(shù)，也就是光子可能采取的最可能路徑分布。這一結(jié)果與薛定諤方程的預(yù)測(cè)完全一致。而薛定諤方程正是描述量子力學(xué)行為的核心方程。

這表明，只要以適當(dāng)方式計(jì)算密度，量子力學(xué)中的薛定諤方程和經(jīng)典物理學(xué)中的哈密頓-雅可比方程實(shí)際上是等價(jià)的。這是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)結(jié)果，它并不是說(shuō)量子現(xiàn)象會(huì)發(fā)生在經(jīng)典尺度上，而是說(shuō)我們可以用非常簡(jiǎn)單的經(jīng)典工具來(lái)計(jì)算量子行為。

一座更堅(jiān)固的數(shù)學(xué)橋梁

除了雙縫實(shí)驗(yàn)之外，研究人員還證明，這一經(jīng)過(guò)改寫(xiě)的方程也可以預(yù)測(cè)其他量子力學(xué)行為，例如量子隧穿。在量子隧穿中，電子等粒子可以穿過(guò)能壘，而根據(jù)經(jīng)典物理學(xué)，這是不可能發(fā)生的。此外，他們還能夠從行星的經(jīng)典軌道出發(fā)，推導(dǎo)出氫原子中電子的精確量子波。最后，他們還從這一視角重新審視了著名的愛(ài)因斯坦-波多爾斯基-羅森（EPR）實(shí)驗(yàn)。這個(gè)實(shí)驗(yàn)開(kāi)啟了現(xiàn)代量子糾纏研究。

這些神秘現(xiàn)象過(guò)去只能通過(guò)量子力學(xué)方程來(lái)理解，而現(xiàn)在，也能用這種新的經(jīng)典表述來(lái)描述。從本質(zhì)上說(shuō)，這項(xiàng)研究在我們熟悉的日常經(jīng)典物理世界與原子以下尺度的世界之間，建立了一座精確的數(shù)學(xué)橋梁。

研究人員表示，過(guò)去，經(jīng)典物理和量子物理之間只有一座非常脆弱的橋梁，而且只適用于相對(duì)較大的量子粒子。而現(xiàn)在，我們有了一座堅(jiān)固的橋梁——這是一種可以共同描述量子力學(xué)、經(jīng)典力學(xué)和相對(duì)論的方法，并且適用于所有尺度。

研究人員設(shè)想，物理學(xué)家或許可以把這一新公式作為一種簡(jiǎn)便方法，用來(lái)預(yù)測(cè)某些量子系統(tǒng)和量子器件的表現(xiàn)。這可能對(duì)量子計(jì)算產(chǎn)生重要影響，因?yàn)樵诹孔佑?jì)算中，量子比特具有一些物理學(xué)家必須近似處理的非線性能量。它也可能幫助我們更好地理解同時(shí)涉及量子物理和廣義相對(duì)論的問(wèn)題。

#參考來(lái)源：

https://news.mit.edu/2026/new-study-bridges-classical-and-quantum-physics-0421

https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/482/2336/20250413/481461/On-computing-quantum-waves-exactly-from-classical

#圖片來(lái)源：

封面圖 & 首圖：原原