【解題研究】萊洛三角形中的動點軌跡探究——普陀區(qū)二模第25題

【解題研究】萊洛三角形中的動點軌跡探究——普陀區(qū)二模第25題

萊洛三角形作為一種特殊的曲邊三角形，近年來頻繁出現(xiàn)在各地中考題中，這和它本身的構(gòu)造有很大關(guān)系，它由首尾順次連接的三段等弧構(gòu)造一個封裝圖形，并且這三段等弧所對的圓心角均為60°，而連接它的三個頂點之后，我們又可以得到一個等邊三角形，因此從命題角度，它可以將圓的相關(guān)知識與三角形有機結(jié)合起來，可創(chuàng)設(shè)更多有意思的問題。

題目

解析：

01

(1)正確的是①③；

針對④多解釋一下求萊洛三角形面積的方法，較簡便的是三個扇形面積減掉兩個等邊三角形面積，如下圖：

02

(2)由條件DE∥BC且DE=1/2BC，多數(shù)學生第一個聯(lián)想到的，是三角形的中位線，其實在草稿紙上畫一下，還會有意外收獲，如下圖：

圖中GH是△ABC中位線，分別過兩個端點向BC作垂線，于是我們得到本題的兩種情況，下列分別來研究：

當點D、E都在弧BC上時，如下圖：

我們知道AD=AE，即△ADE是等腰三角形，所以過點A作AF⊥DE于點F，其中DF=a/4，AD=AB=a，由勾股定理求得AF=√15a/4，所以tan∠ADE=√15；

當D、E分別在弧AB和弧AC上時，如下圖：

依然過點A作AF⊥DE，延長交BC于點H，連接CD、BE，相交于點G，我們首先來證明A、F、G、H共線，由DE∥BC，AF⊥DE，可知AH⊥BC，因此A、F、H共線，且AH是線段BC和DE的對稱軸，若將這兩條線段看作一個整體，由軸對稱性可知CD、BE的交點一定在對稱軸上，即A、F、G、H共線；

圖中△DEG∽△BCG，且相似比為1：2，于是可得DG=a/3，在Rt△DFG中利用勾股定理求出FG=√7a/12，所以GH=√7a/6，而AH=√3a/2，所以AF=AH-FG-GH=(2√3-√7)a/4，最后得到tan∠ADE=2√3-√7；

03

(3)如圖所示：

由萊洛三角形的概念，連接CM、BN之后，CM=BN=a，如下圖：

此時△CBM是等腰三角形，不妨取其底邊中點D，再取BC中點E，如下圖：

△BMN中，DF是其中位線，所以DF=1/2BN=a/2，△BCM中，DE是其中位線，所以DE=1/2CM=a/2；

∠BGM=∠GBC+∠BCG=∠ACM+∠BCG=60°，所以∠EDF=∠BGM=60°，即△DEF是等邊三角形，EF=a/2；

現(xiàn)在我們可以表述點F的軌跡了，它在線段EF的端點，另一端點E為BC上的定點，長度為定長a/2，所以點F在以點E為圓心的圓上，當點M與A重合時，點F是AC中點I，當點M與B重合時，點F是AB中點H，因此我們可作出這條弧，并且我們知道點EHI均為等邊△ABC三邊中點，則可得弧所對圓心角∠HEI=60°，如下圖：

所以，點F的軌跡是以點E為圓心，a/2為半徑，圓心角為60°的一段弧HI.

解題思考

對于萊洛三角形，除中間是等邊三角形外，它的三條邊(弧)是等弧，這對于我們理解等弧概念提出較高要求，在教材中是這樣描述的，如下圖：

前提條件是同圓或等圓中，要求是互相重合，在平時學習中，我們多數(shù)情況下是接觸到的同圓，但在萊洛三角形中，我們利用的是等圓，因為它的三條弧半徑相同，當我們觀察圖中的等量關(guān)系的時候，需要擺脫傳統(tǒng)習慣(同圓).

在探索點F運動軌跡的時候，學生并非一定會按照解析給出的思路走，也可能走一點彎路，但不要緊，有時，必要的彎路會幫助學生更快找到正確的路.

當學生連接CM和CN之后，會出現(xiàn)一個交點D，如下圖：

若仔細觀察，還能發(fā)現(xiàn)其中的一對全等三角形，如下圖：

由這一對全等三角形，我們還能證明∠BDC=120°，即點D在某段弧上運動，如下圖：

我們通過作草圖，可以猜想點F也在某段弧上運動，那么尋找這段弧所在的圓心十分關(guān)鍵，直觀上這個圓心應該是BC中點，所以才有后面探究的思路，當作出BC中點之后，對于等腰△BCM，它底邊上的中點也屬于特殊點，這樣，多中點間的關(guān)聯(lián)就好找了，那就是構(gòu)造中位線.

本題中點F的軌跡是一段弧，這涉及到圓的概念，到定點的距離等于定長，核心就是抓住定點在哪，定長是多少，解決了這兩個問題，軌跡問題便不再困難。