AI推翻87年數學難題？困擾數學界雅可比猜想可能被三行公式證偽了

懸而未決 87 年的經典數學難題——雅可比猜想（Jacobian Conjecture），可能被一個只有三行公式的反例推翻了。

7 月 20 日，數學家、Anthropic 研究人員 Levent Alp?ge 在社交平臺 X 公布了一個三元多項式映射。它滿足了雅可比猜想要求的前提條件，卻違背了猜想的結論，因此構成了一個可能推翻整個猜想的反例。

更引人關注的是，Alp?ge 在帖子中將這一反例歸功于 Anthropic 最新發布的 AI 模型 Claude Fable 5。他還表示，是朋友 Akhil 首先向模型提出這一問題，而 Fable 5 則在他們觀看世界杯決賽期間持續搜索，最終找到了這一反例構造。

（來源：X）

消息發布后，數學界迅速展開核驗。斯坦福大學數學系助理教授 Jared Duker Lichtman 轉發稱這一結果“相當驚人”；MathOverflow 很快收錄了相關討論，不少研究者還利用 Wolfram Alpha、SymPy 等工具進行了獨立計算。目前，最關鍵的兩項驗證：雅可比行列式是否恒為 ?2，以及三個不同點是否確實映射到同一點，均已通過公開計算驗證。

如果后續沒有發現新的漏洞，這將意味著：1939 年提出的雅可比猜想在三維情形下不成立，并可進一步推出其在所有三維及以上維數下均不成立；而二維情形仍然保持開放。

被稱為“民科墳場”的雅可比猜想

雅可比猜想由德國數學家奧特－海因里希·凱勒（Ott-Heinrich Keller）于1939 年提出，討論的是一個看似簡單、卻困擾數學界近九十年的問題：什么時候，一個多項式映射一定能夠"倒推"回原來的函數？

圖｜海因里希·凱勒（左）（來源：Wikipedia）

理解這個猜想，可以先想象一張橡膠膜。如果局部看，每一小塊都沒有被撕裂或壓扁，人們很自然會問：整張膜會不會在別的地方折疊起來，讓兩個不同的位置重合？

數學里的情況與此類似。對于多變量多項式映射，如果它在每一個局部都滿足一種“沒有折疊”的條件，也就是雅可比行列式始終等于同一個非零常數。那么它是否一定在整體上也是一一對應的？它的逆映射又是否仍然是一個多項式？

這就是雅可比猜想。它的陳述只有短短幾句話，卻異常難以證明。不少數學研究者戲稱它為“crank graveyard”——“民科墳場”。許多人被它吸引，最終卻陷入漫長而徒勞的推導之中。

著名華人數學家張益唐，就曾把整個博士階段投入到這個問題。1991 年，他在普渡大學完成博士論文《雅可比猜想與域擴張的次數》，導師莫宗堅是國際上研究雅可比猜想最重要的學者之一。張益唐的工作推進了這一研究方向，卻并沒有解決猜想本身。后來，他離開代數幾何，轉向解析數論，并最終因證明有界素數間隔而聞名世界；雅可比猜想，則依然留在開放問題名單中。

1998 年，菲爾茲獎得主 Stephen Smale 將其列入著名的《下一個世紀的數學問題》（Mathematical Problems for the Next Century）第 16 題，認為它的解決將對數學發展產生重要影響。

過去近 90 年里，一維情形早已證明成立，二維至今仍未解決，而三維及更高維也始終沒有答案。由于這一猜想要求所有維數都成立，因此，只要在任意一個維數找到反例，整個猜想就會被推翻。

三個點，擊穿一個猜想

而此次，Alp?ge 公布的是一個從三維復空間到三維復空間的多項式映射：

直接計算可知，這個映射的雅可比行列式恒等于 ?2。由于 ?2 是一個非零常數，因此它完全滿足雅可比猜想的前提條件。

然而，當把三個不同的點

分別代入這一映射時，得到的結果卻都是同一個點：

這足以構成反例。原因很簡單：如果多個不同的輸入對應同一個輸出，那么映射就不是單射。換句話說，當已知輸出時，無法唯一確定原來的輸入，因此它不可能擁有逆映射，更不可能擁有由多項式組成的逆映射。這與雅可比猜想的結論正面沖突。

這個反例還具有極強的可核查性。許多重大數學成果往往需要專家花費數月甚至數年時間，逐頁檢查上百頁證明；而這個結果的核心，僅涉及兩項有限的代數計算：一是驗證雅可比行列式恒等于非零常數，二是驗證三個不同的點確實映射到了同一個點。

截至目前，這兩項計算均已得到公開復核。研究者 Zihan Zhang 給出了獨立的 SymPy 驗證腳本，并指出，只需將其中一個輸出坐標乘以 ?1/2，就可以把雅可比行列式規范化為猜想中更常采用的常數 1，而這不會改變反例的本質。

如果這一反例最終成立，它不僅推翻三維情形，也意味著所有更高維情形都不再成立。因為只需在三維反例后增加若干保持不變的坐標，就可以直接構造出任意更高維的反例。不過，二維雅可比猜想仍然是一個獨立的開放問題

值得補充的是，Levent Alp?ge 并不是從 AI 領域半路進入數學，而是一位長期從事數論與算術幾何研究的職業數學家。近年來，他才加入 Anthropic，從事人工智能研究。

他本科畢業于哈佛大學，主修數學，并獲得物理學碩士學位；隨后在劍橋大學完成數學高級研究課程。2020 年，他在普林斯頓大學獲得數學博士學位，導師是菲爾茲獎得主 Manjul Bhargava。

圖｜Levent Alp?ge（來源：Quanta Magazine）

大型語言模型興起后，Alp?ge 開始轉向人工智能。他曾在個人主頁寫道，GPT-4 讓他認為人工智能是“人類創造過的最有意思的東西”，因此重新回到計算機科學領域，希望增加這場變化產生積極結果的可能性。

根據目前公開的信息，這次發現的大致過程是：Akhil 提出問題，Alp?ge 將其交給 Claude Fable 5 進行探索，模型最終給出了具體的反例構造；隨后，Alp?ge 公開了這一構造，數學界再通過人工推導以及 Wolfram Alpha、SymPy 等工具進行了獨立驗證。

這一過程與 AI 替數學家寫出一份傳統意義上的數學證明有所不同。對于否定一個猜想而言，并不需要解釋所有可能情況，只需要找到一個滿足前提、卻違反結論的反例即可。這樣的任務天然適合計算探索：模型可以不斷嘗試構造候選映射、調整參數、檢查雅可比條件，再尋找是否會出現不同點映射到同一點的情況。

如果這一反例最終得到確認，它帶來的意義將十分重大。因為它展示了一種此前極少出現的研究模式：不是 AI 幫助數學家驗證已經存在的思路，而是AI參與尋找一個人類 87 年來始終沒有找到的數學對象。

從 AlphaGeometry 解決競賽題，到 GPT、Gemini 參與證明具體命題，再到這一次可能找到推翻經典猜想的反例，大模型參與數學研究的角色正在發生變化。它開始探索的，不再只是“答案”，而是過去只有數學家才會進入的未知搜索空間。

1.https://x.com/leventalpoge

2.https://mathoverflow.net/questions/513387/galois-structure-of-the-new-counterexample-to-the-jacobian-conjecture-an-explic

3.https://www.leventalpoge.com/

4.https://dataspace.princeton.edu/

5.https://www.ams.org/prizes-awards/ams-morgan-prize

運營/排版：何晨龍

注：封面由 AI 輔助生成