JMPS: 葉脈約束如何決定一片干枯落葉的卷曲方式

“一葉落而知天下秋”。你有沒(méi)有仔細(xì)觀察過(guò)院子里干枯的落葉？它們或蜷曲、或折疊、或邊緣起伏，幾乎沒(méi)有哪一片是完全平展的。然而，這些豐富的形態(tài)并非隨機(jī)，而是源于葉片內(nèi)部的幾何、力學(xué)約束。近日，Journal of the Mechanics and Physics of Solids在線發(fā)表了由新加坡南洋理工大學(xué)K. Jimmy Hsia教授、英國(guó)伯明翰大學(xué)Mingchao Liu教授合作的最新研究論文 “Midveins regulate the shape formation of drying leaves”。基于非歐幾里得彈性理論（Non-Euclidean elasticity），該研究揭示了在葉片脫水干枯的過(guò)程中，中脈（midvein）對(duì)整體形態(tài)演化起著決定性作用：它通過(guò)約束葉面收縮的非均勻性，調(diào)控了葉片最終呈現(xiàn)出的卷曲主導(dǎo)或折疊主導(dǎo)的形狀。新加坡南洋理工大學(xué) Kexin Guo博士和以色列耶路撒冷希伯來(lái)大學(xué)Yafei Zhang博士為本文共同第一作者。

在日常直覺(jué)中，我們通常會(huì)把干枯葉子的變形歸因于水分蒸發(fā)導(dǎo)致的自由、均勻收縮。然而，作者研究發(fā)現(xiàn)，真正的關(guān)鍵在于“受限的收縮”——當(dāng)葉片薄膜部分收縮，而中脈由于剛度較高而幾乎不縮時(shí)，二者之間的不匹配應(yīng)變會(huì)在葉面上引發(fā)復(fù)雜的彎曲與折疊。干枯葉子的最終形態(tài)是由失水過(guò)程中葉片受中脈限制的收縮所決定的（圖1）。

圖1.中脈約束決定葉片干枯后的多樣形。A.集中不同植物的新鮮葉片。B.掉落地面的枯葉呈現(xiàn)多種形態(tài)。C.相應(yīng)植物的典型干枯葉片形狀（對(duì)應(yīng)A中的i–iv）。D.基于本研究模型的有限元模擬結(jié)果，展示由加厚中脈約束的橢圓葉片在干燥過(guò)程中的變形。

為深入揭示這一過(guò)程，研究團(tuán)隊(duì)將葉片理想化為一個(gè)由兩側(cè)的彈性薄板和中間剛度更高的梁組成的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)，對(duì)葉面部分施加收縮應(yīng)變(ε0)，并建立了理論模型與數(shù)值模擬。模擬顯示（圖2），當(dāng)葉片失水時(shí)，葉面整體收縮而剛度較高的中脈幾乎不收縮時(shí)，兩者之間產(chǎn)生明顯的不匹配應(yīng)變?？拷忻}的區(qū)域受限較強(qiáng)，而邊緣部分較為自由，因此在葉面內(nèi)形成應(yīng)變梯度與過(guò)渡層。中脈在葉面收縮的牽引下承受軸向壓應(yīng)力，葉面縱向應(yīng)力呈拉伸，橫向應(yīng)力則出現(xiàn)局部壓縮，導(dǎo)致葉面在臨界應(yīng)變處發(fā)生面外屈曲。屈曲使葉片發(fā)生突然變形釋放內(nèi)部能量，中脈曲率隨收縮應(yīng)變突然增大，標(biāo)志著從平面到卷曲的轉(zhuǎn)變。

圖2.簡(jiǎn)化葉片結(jié)構(gòu)的有限元模擬。A.模型由中央梁和薄板葉面組成，葉面有收縮應(yīng)變?chǔ)?。B,C.變形(B)和應(yīng)變(C)：葉面（上）與中脈（下）。顏色反映不同收縮應(yīng)變。D.應(yīng)力分布：縱向應(yīng)力（上）與橫向應(yīng)力（下）。E.形變隨收縮應(yīng)變的變化：最大撓度（左）與中脈曲率（右）。

基于非歐幾里得彈性框架，理論模型揭示了一個(gè)簡(jiǎn)潔的關(guān)系：中脈的曲率(κx)與葉片的收縮應(yīng)變（ε0）成近似線性比例：κx~ε0。該規(guī)律在后續(xù)的模擬中得到驗(yàn)證。研究進(jìn)一步考察了中脈剛度對(duì)葉片形變的影響。通過(guò)改變中脈半徑的有限元模擬發(fā)現(xiàn)，隨著中脈剛度變得更高，整體彎曲被抑制，曲率減小（圖3A）。盡管剛度不同，所有曲率–應(yīng)變曲線在屈曲后的斜率均近似為1，表明其線性關(guān)系，與理論預(yù)測(cè)高度一致（圖3B）。當(dāng)固定中脈幾何、改變?nèi)~面厚度比h/W時(shí)，葉面越厚，曲率越小。經(jīng)過(guò)歸一化處理后，不同幾何下的數(shù)據(jù)匯聚為同一主曲線（圖3C），驗(yàn)證了規(guī)律的普適性。由此得到的臨界收縮應(yīng)變與厚度比呈平方關(guān)系：ε0c~h2/W2（圖3D），與理論一致。這一體系化框架揭示了由中脈約束引發(fā)的形態(tài)轉(zhuǎn)變機(jī)制，也為設(shè)計(jì)可變形薄板結(jié)構(gòu)提供了預(yù)測(cè)性原則。

圖3.中脈曲率與臨界應(yīng)變的尺度規(guī)律。A.在相同幾何條件下改變中脈半徑R/h，箭頭方向表示中脈彎曲剛度比增大。B.中脈曲率隨收縮應(yīng)變變化的結(jié)果，不同顏色對(duì)應(yīng)不同剛度比。虛線為理論預(yù)測(cè)。C.歸一化后的中脈曲率與收縮應(yīng)變的關(guān)系圖。插圖為未歸一化數(shù)據(jù)。D.從C中提取的臨界應(yīng)變隨葉片厚度比h/W變化的關(guān)系。虛線為理論標(biāo)度。

進(jìn)一步的分析揭示了兩種主要的形態(tài)模式（圖4）：卷曲主導(dǎo)(Curling-dominated)與折疊主導(dǎo)(Folding-dominated)。當(dāng)中脈較柔軟時(shí)，葉片隨著收縮逐漸由平面轉(zhuǎn)變?yōu)槠交砬霈F(xiàn)典型的屈曲。相反，當(dāng)中脈較剛硬時(shí)，葉片傾向于形成局部折疊和邊緣波浪，伴隨尖銳的彎折特征。此外，模擬還顯示，較硬的中脈在促使葉面產(chǎn)生折疊的同時(shí)產(chǎn)生了邊緣波紋。這種邊緣波紋形起源于高斯曲率積累下的幾何不相容，系統(tǒng)通過(guò)沿邊緣形成局部彎曲來(lái)降低拉伸能，從而緩解應(yīng)變能積累。波紋的波長(zhǎng)隨葉面厚度和寬度增加而增大，隨收縮應(yīng)變?cè)鰪?qiáng)而減小，揭示了幾何與拉伸、彎曲能量之間的耦合規(guī)律。

圖4.干枯葉片形態(tài)形成的理論示意圖。A.初始平面形態(tài)。B.在較小應(yīng)變失配下的卷曲形態(tài)。C.在較大不匹配應(yīng)變下的卷曲形態(tài)。D.在較小不匹配應(yīng)變下的折疊形態(tài)。E.在較大不匹配應(yīng)變下伴隨折疊的波浪形態(tài)。在收縮過(guò)程中，若中脈較柔軟，形態(tài)演化路徑為“A–B–C”；若中脈較剛硬，則沿“A–D–E”變化。

研究同時(shí)表明，C形卷曲（C-curled）比S形（S-curled）具有更低的彈性能量，但天然葉片的原始缺陷可以使得他們形成更高階的S形。通過(guò)系統(tǒng)地改變中脈與葉面的彎曲剛度比（Bv/Bl）、葉片厚度比（h/W），研究者繪制出一幅“形態(tài)相圖”（圖5），清晰展示了葉片從卷曲主導(dǎo)到折疊主導(dǎo)的模態(tài)變化。

圖5.葉片形態(tài)模式的相圖。隨著中脈與葉面彎曲剛度比(Bv/Bl)的變化，葉片在卷曲主導(dǎo)與折疊主導(dǎo)兩種模式間轉(zhuǎn)變。葉片厚度比h/W決定了折疊后邊緣的波浪程度。紅區(qū)代表卷曲主導(dǎo)，黃區(qū)代表折疊主導(dǎo)，過(guò)渡區(qū)為漸變過(guò)程。

除了理論與模擬，研究者還通過(guò)對(duì)比不同植物的干枯葉片照片，驗(yàn)證了模型的普適性（圖6）。無(wú)論植物的種別，只要存在顯著的中脈約束，干燥后都會(huì)出現(xiàn)類似的卷曲或者折疊趨勢(shì)。

圖6.常見(jiàn)干枯葉片形貌：波浪形（S-curled），卷曲形（C-curled），和折疊形（folding）。

從微分幾何視角，作者揭示了干葉復(fù)雜形態(tài)的演化根源在于“葉脈與葉片”的非均勻收縮破壞了高斯絕妙定理（Theorema Egregium）所要求的內(nèi)蘊(yùn)幾何一致性，從而在落葉系統(tǒng)中誘發(fā)了高斯非相容（Gauss Incompatibility）。這一發(fā)現(xiàn)不僅揭示了植物形態(tài)形成中枯萎階段的幾何、力學(xué)作用，也讓人們重新認(rèn)識(shí)葉脈的角色——它不僅是輸導(dǎo)水分與養(yǎng)分的通道，更是葉片的力學(xué)骨架。從工程角度看，薄膜–骨架式的“受限收縮”機(jī)制，為可控變形結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了新思路。通過(guò)仿照葉片中脈與葉面的剛度差，人們有望設(shè)計(jì)出能在濕度、溫度變化下自動(dòng)卷曲或折疊的仿生材料——例如自響應(yīng)軟體結(jié)構(gòu)、可折疊電子器件或環(huán)保包裝薄膜。

論文鏈接：

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022509625003655